কোনো সংখ্যা (x)-র বর্গের সাথে 1 যোগ করলে যদি তা সংখ্যাটির 3 গুণহয়, তাহলে, ${\mathrm{x}}^3+\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}$ = ?

দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation)

যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হয়, তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

দ্বিঘাত সমীকরণে চলকের বর্গ থাকে এবং সাধারণত এর দুটি মূল (Root) পাওয়া যায়।

দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ

$a{x}^2+bx+c=0$

এখানে,

a, b, c ধ্রুবক এবং a ≠ 0

মূল নির্ণয়ের সূত্র

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

এখানে,

b² − 4ac কে বিচ্যুতি (Discriminant) বলা হয়।

বিচ্যুতির ভিত্তিতে মূলের প্রকৃতি

• যদি b² − 4ac > 0 হয়, তবে দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল পাওয়া যায়
• যদি b² − 4ac = 0 হয়, তবে দুটি সমান বাস্তব মূল পাওয়া যায়
• যদি b² − 4ac < 0 হয়, তবে কাল্পনিক মূল পাওয়া যায়

উদাহরণ

নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি:

$x^2-5x+6=0$

এখন উৎপাদক বিশ্লেষণ করলে পাই:

$(x-2)(x-3)=0$

অতএব,

$x=2,3$

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি

• উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতি
• পূর্ণবর্গ সম্পন্ন পদ্ধতি
• সূত্র প্রয়োগ পদ্ধতি

বৈশিষ্ট্য

• চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হয়
• সাধারণত দুটি মূল থাকে
• গ্রাফ প্যারাবোলা আকারের হয়
• বীজগণিতে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

দ্বিঘাত সমীকরণে চলকের বর্গ থাকে এবং এর সমাধানকে সমীকরণের মূল বলা হয়।

মনে রাখার উপায়

“চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2 = দ্বিঘাত সমীকরণ” — এই নিয়ম মনে রাখলেই সহজে চেনা যায়।

দ্বিঘাত, ত্রিঘাত এবং চতুর্ঘাত সমীকরণ (Quadratic and Higher Order Equations)

দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন (Formation of Quadratic Equations)

ধরা যাক,

$a{x}^2+bx+c=0$

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় α এবং β।

মূলদ্বয়ের যোগফল

$\alpha +\beta =\frac{-b}{a}$

মূলদ্বয়ের গুণফল

$\alpha \beta =\frac{c}{a}$

মূলদ্বয় দ্বারা সমীকরণ গঠন

$x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0$

দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ সমাধান

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ:

$a{x}^2+bx+c=0$

যেখানে a ≠ 0

পূর্ণবর্গ সম্পন্ন করলে পাই:

$(2ax+b){}^2=b^2-4ac$

অতএব,

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

এটাই দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ সমাধান সূত্র।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক

যদি α এবং β সমীকরণের মূল হয়, তবে

$\alpha =\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

এবং

$\beta =\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

মূলদ্বয়ের সমষ্টি

$\alpha +\beta =\frac{-b}{a}$

মূলদ্বয়ের গুণফল

$\alpha \beta =\frac{c}{a}$

উদাহরণ

সমীকরণ:

$4x^2-3x+2=0$

এখানে,

$\alpha +\beta =\frac{3}{4}$

এবং

$\alpha \beta =\frac{1}{2}$

দুটি সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকার শর্ত

যদি,

$a_1{x}^2+b_{1}x+c_1=0$

এবং

$a_2{x}^2+b_{2}x+c_2=0$

সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে শর্ত হবে:

$(b_1{c}_2-b_2{c}_1)(a_1{b}_2-a_2{b}_1)={(c_1{a}_2-c_2{a}_1)}^2$

দুটি সমীকরণের উভয় মূল সাধারণ হওয়ার শর্ত

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

পৃথায়ক (Discriminant)

দ্বিঘাত সমীকরণে,

$D=b^2-4ac$

কে পৃথায়ক বলা হয়।

পৃথায়কের ভিত্তিতে মূলের প্রকৃতি

• D > 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে
• D = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে
• D < 0 হলে মূলদ্বয় জটিল হবে
• D পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় মূলদ হবে

ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক

যদি,

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

সমীকরণের মূলত্রয় α, β, γ হলে,

$\alpha +\beta +\gamma =\frac{-b}{a}$$\mathrm{\alpha \beta }+\mathrm{\beta \gamma }+\mathrm{\gamma \alpha }=\frac{c}{a}$$\mathrm{\alpha \beta \gamma }=\frac{-d}{a}$

সমান্তর প্রগমনভুক্ত মূল

• ত্রিঘাত সমীকরণে মূল: a − d, a, a + d
• চতুর্ঘাত সমীকরণে মূল: a − 3d, a − d, a + d, a + 3d

গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত মূল

• ত্রিঘাত সমীকরণে মূল: a/r, a, ar
• চতুর্ঘাত সমীকরণে মূল: a/r³, a/r, a, ar³

n ঘাত সমীকরণের মূল ও সহগের সম্পর্ক

যদি,

$a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+...+a_n=0$

তাহলে,

$\sum \alpha =\frac{-a_1}{a_0}$$\sum \alpha \beta =\frac{a_2}{a_0}$$\alpha \beta ...\alpha n={(-1)}^n\times \frac{a_n}{a_0}$

মনে রাখার উপায়

দ্বিঘাত সমীকরণে মূলের যোগফল = −b/a এবং গুণফল = c/a — এই সূত্র দুটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।